(Hình học 10 - Chương III) Bài giảng: Đường parabol

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "(Hình học 10 - Chương III) Bài giảng: Đường parabol ": http://123doc.vn/document/567152-hinh-hoc-10-chuong-iii-bai-giang-duong-parabol.htm

4. phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp
Bài toán 1: Xác định các thuộc tính của Parabol (P).
Phơng pháp thực hiện
Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Chuyển phơng trình ban đầu của Parabol (P) về dạng chính tắc
(P): y
2
= 2px hoặc (P): x
2
= 2py.
Bớc 2: Xét các khả năng:
Dạng 1: Parabol (P): y
2
= 2px (p>0)
Các thuộc tính của (P) gồm:
Đỉnh O(0. 0),
Tiêu điểm F (
2
p
, 0),
Đờng chuẩn (d): x =
2
p
,
Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị ở bên phải Ox.
Dạng 2: Parabol (P): y
2
= 2px (p>0)
Các thuộc tính của (P) gồm:
Đỉnh O(0. 0),
Tiêu điểm F (
2
p
, 0),
Đờng chuẩn (d): x =
2
p
,
Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị ở bên trái Ox.
Dạng 3: Parabol (P): x
2
= 2py (p>0)
Các thuộc tính của (P) gồm:
Đỉnh O(0. 0),
Tiêu điểm F (0,
2
p
),
Đờng chuẩn (d): y =
2
p
,
Parabol, nhận Oy làm trục đối xứng, đồ thị có hớng lên trên.
Dạng 4: Parabol (P): x
2
= 2py (p>0)
Các thuộc tính của (P) gồm:
Đỉnh O(0. 0),
Tiêu điểm F (0,
2
p
),
Đờng chuẩn (d): y =
2
p
,
Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị có hớng xuống dới.
Chú ý: Trong trờng hợp phơng trình của (P) có dạng:
5
F
(d)
L
O
y
x
(P)
p/2
p/2
F
(d)
L
O
y
x
(P)
p/2
p/2
F
(
d
)
L
O
x
(P)
p/2
p/2
y
F
(d)
L
O
x
(P)
p/2
p/2
y
(P): (y )
2
= 2p(x ) hoặc (P): (x )
2
= 2p(y ).
ta thực hiện phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ
OI
với I(, ) thành hệ trục IXY
với công thức đổi trục:



=
=
yY
xX




+=
+=
Yy
Xx
ta đợc:
(P): Y
2
= 2pX hoặc (P): X
2
= 2pY.
từ đó chỉ ra các thuộc tính của (P) trong hệ trục IXY rồi suy ra các thuộc tính của (P)
trong hệ trục Oxy.
Ví dụ 1: Cho họ đờng cong (P
m
) có phơng trình:
(P
m
): y
2
2my 2m
2
x + m
2
+ 2m 1 = 0.
Tìm điều kiện của m để (P
m
) là phơng trình một Parabol, khi đó:
a. Tìm quĩ tích đỉnh của họ (P
m
).
b. Tìm quĩ tích tiêu điểm của họ (P
m
).
c. Tìm đểm cố định mà họ (P
m
) luôn đi qua.
Giải
Chuyển phơng trình của (P
m
) về dạng:
(P
m
): (y m)
2
= 2m
2
(x
2
m2
1m2

).
Để phơng trình trên là phơng trình của một Parabol điều kiện là m 0.
Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục toạ độ Oxy theo vectơ
OS
với S(
2
m2
1m2

, m) thành hệ trục SXY, với công thức đổi trục:





=

=
myY
m2
1m2
xX
2






+=

+=
mYy
m2
1m2
Xx
2
Khi đó:
(P): Y
2
= 2m
2
X p = m
2
.
Khi đó trong hệ trục SXY, (P
m
) có các thuộc tính:
Đỉnh S.
Trục đối xứng SX chứa tiêu điểm F(
2
m
2
, 0).
Phơng trình đờng chuẩn (d): X =
2
m
2
.
Do đó trong hệ trục Oxy, (P
m
) có các thuộc tính:
6
Đỉnh S(
2
m2
1m2

, m).
Trục đối xứng là y m = 0 chứa tiêu điểm F(
2
m
2
+
2
m2
1m2

, m).
Phơng trình đờng chuẩn (d): x +
2
m
2

2
m2
1m2

= 0.
a. Quĩ tích đỉnh của họ (P
m
).
S :





=

=
my
m2
1m2
x
2
x =
2
y2
1y2

.
Vậy quĩ tích đỉnh của (P
m
) thuộc đờng cong (C
1
): x =
2
y2
1y2

.
b. Quĩ tích tiêu điểm của họ (P
m
).
F:





=

+=
my
m2
1m2
2
m
x
2
2
x =
2
y
2
+
2
y2
1y2

x =
2
4
y2
1y2y
+
.
Vậy quĩ tích đỉnh của (P
m
) thuộc đờng cong (C
2
): x =
2
4
y2
1y2y
+
.
c. Gọi M(x, y) là đểm cố định mà họ (P
m
) luôn đi qua, khi đó:
y
2
2my 2m
2
x + m
2
+ 2m 1 = 0, m
(1 2x)m
2
+ 2(1 y)m + y
2
1 = 0, m






=
=
=
01y
0y1
0x21
2






=
=
1y
2
1
x
.
Vậy (P
m
) luôn đi qua điểm cố định M(
2
1
, 1).
Bài toán 2: Lập phơng trình của Parabol (P).
Phơng pháp thực hiện
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng phơng trình chính tắc của Parabol
(P): y
2
= 2px hoặc (P): x
2
= 2py.
7
Từ đó cần tìm a, b (hoặc a
2
, b
2
) bằng cách thiết lập một hệ hai phơng trình với ẩn a,
b (hoặc a
2
, b
2
).
Cách 2: Sử dụng định nghĩa
Bớc 1: Lấy điểm M(x, y)(P) có tiêu điểm F và dờng chuẩn (d).
Bớc 2: Chuyển MF = MH thành biểu thức giải tích nhờ:
MF
2
= (x x
F
)
2
+ (y y
F
)
2
và MH = d(M, (d)).
Bớc 3: Thu gọn.
Chú ý:
1. Cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kỹ càng để lựa chọn dạng phơng trình
thích hợp. Trong trờng hợp không có gì đặc biệt, ta luôn giả sử Parabol (P) có ph-
ơng trình:
(P): y
2
= 2px.
2. Trong nhiều trờng hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phơng pháp quỹ tích để xác phơng
trình Parabol hoặc chứng minh tập hợp điểm là Parabol.
Ví dụ 1: Cho điểm F(3, 0) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(d): 3x 4y + 16 = 0.
a. Tính khoảng cách từ F đến (d) từ đó suy ra phơng trình đờng tròn tâm F tiếp
xúc với đờng thẳng (d).
b. Viết phơng trình Parabol (P) có tiêu điểm F và đỉnh là gốc toạ độ. Chứng minh
rằng (P) tiếp xúc với (d). Tìm toạ độ của tiếp điểm.
Giải
a. Gọi h khoảng cách từ F đến (d), ta có:
h =
22
43
|160.43.3|
+
+
= 5.
Đờng tròn (C) tâm F(3, 0) tiếp xúc với (d)
(C):



=
5RBkính
)0,3(Ftam
(C): (x 3)
2
+ y
2
= 25.
b. Parabol (P) có tiêu điểm F(3, 0) và đỉnh O(0, 0) có phơng trình
(P): y
2
= 2px.
Ta có
2
p
= 3 p = 6.
Vậy phơng trình Parabol (P): y
2
= 12x.
Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với (d). Thật vậy, xét hệ phơng trình



=+
=
016y4x3
x12y
2
y
2
= 4(4y 16)
y
2
16y + 64 = 0 y = 8 (nghiệm kép) x =
3
16
.
8
Vậy (P) tiếp xúc với (d) tại tiếp điểm A(
3
16
, 8).
Bài toán 3: Vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng và Parabol.
Phơng pháp thực hiện
1. Xét vị trí tơng đối của điểm M(x
0
, y
0
) với Parabol (P) : y
2
= 2px, ta thực hiện theo
các bớc:
Bớc 1: Xác định phơng tích của M đối với Parabol (P) là :
)P/(M
P
=
2
0
y
2px
0
.
Bớc 2: Kết luận:
Nếu
)P/(M
P
<0 M nằm trong Parabol.
Nếu
)P/(M
P
= 0 M nằm trên Parabol.
Nếu
)P/(M
P
>0 M nằm ngoài Parabol.
Chú ý: Ta có các kết quả sau:
M(x, y) miền trong của (P) qua M không thể kẻ đợc tiếp tuyến tới (P).
M(x, y) miền ngoài của (P) qua M kẻ đợc 2 tiếp tuyến tới (P).
M(x, y) nằm trên (P) qua M kẻ đợc một tiếp tuyến tới (P).
2. Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng với Parabol bằng việc xét hệ phơng trình tạo bởi
(P) và (d), khi đó số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của (d) và (P).
Ví dụ 1: Cho Parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(P): y
2
= 4x và (d): 2x y 4 = 0.
Tìm các điểm M(d) để từ đó:
a. Không kẻ đợc tiếp tuyến nào tới (P).
b. Kẻ đợc một tiếp tuyến tới (P).
c. Kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (P).
Giải
Với mỗi điểm M(x
0
, y
0
)(d), ta có:
2x
0
y
0
4 = 0 y
0
= 2x
0
4.
)P/(M
P
=
2
0
y
4x
0
= (2x
0
4)
2
4x
0
= 4
2
0
x
20x
0
+ 16.
a. Để từ M không kẻ đợc tiếp tuyến nào tới (P)

)P/(M
P
<0 4
2
0
x
20x
0
+ 16<0 1<x
0
<4.
Vậy, tập hợp các điểm M(x
0
, y
0
)(d) có hoành độ thoả mãn 1<x
0
<4 không kẻ đợc
tiếp tuyến nào tới (P).
b. Để từ M kẻ đợc một tiếp tuyến tới (P)

)P/(M
P
= 0 4
2
0
x
20x
0
+ 16 = 0



=
=
4x
1x
0
0





)4,4(M
)2,1(M
2
1
.
Vậy, tồn tại hai điểm M
1
(1, 2) và M
2
(4, 4) thuộc (d) từ đó kẻ đợc một tiếp tuyến
tới (P).
c. Để từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (P)
9

)P/(M
P
>0 4
2
0
x
20x
0
+ 16>0



>
<
4x
1x
0
0
Vậy, tập hợp các điểm M(x
0
, y
0
)(d) có hoành độ x
0
( , 1)(4, + ) kẻ đợc hai
tiếp tuyến tới (P).
Bài toán 4: Điểm và Parabol.
Phơng pháp thực hiện
Với Parabol (P) có phơng trình:
(P): y
2
= 2px.
ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Lấy điểm M(x
0
, y
0
)(P)
2
0
y
= 2px
0
.
Bớc 2: Dựa vào điều kiện K có thêm đợc điều kiện cho x
0
, y
0
.
Chú ý: Ta cần lu ý các trờng hợp sau:
1. Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về bán kính qua tiêu điểm ta sử dụng công
thức tính bán kính qua tiêu điểm theo toạ độ điểm đó là MF = x
0
+
2
p
.
2. Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về góc ta đa bài toán về xét hệ thức lợng
trong tam giác.
3. Nếu điểm phải tìm là giao của Parabol với một đờng khác ta xét hệ phơng trình t-
ơng giao để tìm toạ độ giao điểm.
Ví dụ 1: Cho Parabol (P) có phơng trình y = x
2
.
Một góc vuông ở đỉnh O cắt Parabol tại A
1
và A
2
. Hình chiếu của A
1
và A
2
lên Ox
là B
1
và B
2
.
a. Chứng minh rằng OB
1
.OB
2
= const.
b. Chứng minh rằng A
1
A
2
luôn đi qua một điểm cố định.
Giải
a. Giả sử A
1
(P) A
1
(x
0
,
2
0
x
).
Khi đó:
- B
1
(x
0
, 0) OB
1
= |x
0
|.
- Phơng trình đờng thẳng (OA
1
): y = xx
0
.
- Theo giả thiết OA
2
OA
1

phơng trình đờng thẳng (O A
2
): y =
0
x
1
x.
- Toạ độ của A
2
là nghiệm hệ phơng trình:
A
2
:





=
=
x
x
1
y
xy
0
2
A
2
:







=
=
2
0
0
x
1
y
x
1
x
A
2
(
0
x
1
,
2
0
x
1
).
10
O
y
x
(P)
A
2
A
1
B
2
B
1
I
- B
2
(
0
x
1
, 0) OB
2
= |
0
x
1
|.
Vậy OB
1
.OB
2
= 1.
b. Ta lần lợt có:
Phơng trình (A
1
A
2
) đợc xác định bởi:
(A
1
A
2
):
2
0
2
0
2
0
0
0
0
x
1
x
x
1
y
x
1
x
x
1
x


=
+
+

(A
1
A
2
): x
3
0
x
+ (1 y)
2
0
x
xx
0
= 0.
(1)
Ta đi chứng minh A
1
A
2
luôn đi qua một điểm cố định.
Thật vậy giả sử I(x, y) là điểm cố định của họ đờng thẳng A
1
A
2
(1) đúng với mọi x
0




=
=
0y1
0x




=
=
1y
0x
I(0, 1).
Vậy (A
1
A
2
) luôn đi qua một điểm cố định I(0, 1).
B. bài tập rèn luyện
B. bài tập rèn luyện
Bài tập 1. Cho Parabol (P) có phơng trình:
(P) : y
2
+ 4y 4x = 0.
Chuyển phơng trình Parabol (P) về dạng chính tắc, từ đó xác định các thuộc tính
của nó và vẽ hình
Bài tập 2. Lập phơng trình Parabol (P) có đỉnh là gốc toạ độ và đi qua điểm A(2, 2).
Bài tập 3. Lập phơng trình Parabol (P) có tiêu điểm F(1, 1) và đờng chuẩn (d): x + y =
0.
Bài tập 4. Lập phơng trình Parabol (P) có tiêu điểm F(4, 2) và đờng chuẩn là trục Ox.
Bài tập 5. Lập phơng trình Parabol (P) có đỉnh S(3, 2) và đờng chuẩn là trục Oy.
Bài tập 6. Lập phơng trình Parabol (P) có đỉnh S( 1, 2) và tiêu điểm F(1, 4).
Bài tập 7. Cho Parabol (P) có phơng trình:
(P): y
2
= 2px, với p > 0.
Chứng minh rằng đờng tròn có đờng kính là dây cung quá tiêu, tiếp xúc với đờng
chuẩn.
Bài tập 8. Cho Parabol (P) có phơng trình:
(P): y
2
= 4x.
Một đờng thẳng bất kỳ đi qua tiêu điểm của (P) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và
B. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A và B đến trục của (P) là một đại lợng
không đổi, tính giá trị đó.
11
Bài tập 9. Cho Parabol (P) và Elíp (E) có phơng trình:
(P): y = x
2
2x và (E):
1
1
y
9
x
22
=+
.
a. Chứng minh rằng (P) cắt (E) tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D.
b. Lập phơng trình đờng tròn đi qua các giao điểm đó.
Bài tập 10.Cho Parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(P): y
2
= x và (d): x y 2 = 0.
a. Xác định toạ độ giao điểm A, B của (d) và (P).
b. Tìm toạ độ điểm C thuộc (P) sao cho :
- ABC có diện tích bằng 6.
- ABC đều
c. Tìm điểm M trên cung AB của Parabol (P) sao cho tổng diện tích hai phần hình
phẳng giới hạn bởi (P) và hai dây cung MA, MB là nhỏ nhất.
Bài tập 11.Cho Parabol (P) có phơng trình:
(P): y
2
= 2px với p>0.
Điểm M khác O chạy trên (P). Gọi A, B theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M
lên Ox và Oy. CMR
a. Đờng thẳng qua B vuông góc với OM luôn đi qua một điểm cố định.
b. Đờng thẳng qua B vuông góc với AB luôn đi qua một điểm cố định.
c. Đờng thẳng AB luôn tiếp xúc với một Parabol cố định.
Bài tập 12.Cho Parabol (P) có phơng trình:
(P): y
2
= 2px.
Tìm hai điểm A, B trên (P) sao cho OAB nhận tiêu điểm F làm trực tâm.
Bài tập 13.Cho Parabol (P) có phơng trình y
2
= 2px.
Tìm hai điểm A, B trên (P) sao cho OAB đều.
Bài tập 14.Cho Parabol (P) có phơng trình:
(P): y
2
= 2px.
Đờng thẳng (d) có phơng không đổi cắt Parabol (P) tại A, B. Chứng minh rằng trung
điểm I của AB chạy trên một đờng thẳng cố định cùng phơng với Ox
Bài tập 15.Đờng thẳng (d) cắt Parabol (P): y
2
= 4x tại A, B. Chứng minh rằng trung
điểm I của AB chạy trên:
a. Một đờng thẳng cố định cùng phơng với Ox nếu (d) có hệ số góc k = 1.
b. Một Parabol cố định nếu (d) luôn đi qua M(1, 1).
Bài tập 16.Cho Parabol (P) có phơng trình:
(P): y
2
= 2px.
Giả sử đờng thẳng (d) đi qua tiêu điểm F của (P) và tạo với chiều dơng của trục Ox
một góc và cắt (P) tại hai điểm M, N.
a. Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng MN theo p và .
b. Từ đó suy ra quỹ tích I khi thay đổi.
C. h
C. h
ớng dẫn
ớng dẫn


đáp số
đáp số
12
Bài tập 1. Chuyển phơng trình của (P) về dạng:
(P): (y + 2)
2
= 4(x + 1)
Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục toạ độ Oxy theo vectơ
OS
với S(1, 2) thành hệ trục
SXY, với công thức đổi trục:



+=
+=
2yY
1xX




=
=
2Yy
1Xx
Khi đó:
(P): Y
2
= 4X p = 2.
Khi đó, trong hệ trục SXY, (P) có các thuộc tính:
Đỉnh S.
Trục đối xứng SX chứa tiêu điểm F(1, 0).
Phơng trình đờng chuẩn (d): X = 1
Do đó trong hệ trục Oxy, (P) có các thuộc tính:
Đỉnh S( 1, 2).
Trục đối xứng là đờng thẳng y + 2 = 0 chứa tiêu điểm F(0, 2).
Phơng trình đờng chuẩn (d): x + 2 = 0
Bài tập 2. Parabol (P) có đỉnh O có phơng trình
(P): y
2
= 2px hoặc (P): x
2
= 2py.
Trờng hợp 1: Nếu phơng trình của (P) là:
(P): y
2
= 2px.
Vì A(P), suy ra 4 = 4p p = 1.
Khi đó phơng trình Parabol (P
1
): y
2
= 2x.
Trờng hợp 2: Nếu phơng trình của (P) là:
(P): x
2
= 2py.
Vì A(P), suy ra 4 = 4p p = 1.
Khi đó phơng trình Parabol (P
2
): x
2
= 2y.
Vậy tồn tại hai Parabol (P
1
) và (P
2
) thoả mãn điều kiện đầu bài.
Bài tập 3. Lấy M(x, y)(P), ta có:
MF = d(M, (d)) MF
2
= d
2
(M, (d))
(x 1)
2
+ (y 1)
2
=
2
)yx(
2
+
x
2
+ y
2
2xy 4x 4y + 4 = 0
Vậy, ta có (P): x
2
+ y
2
2xy 4x 4y + 4 = 0.
Bài tập 4. (P): (x 4)
2
= 4(y 1).
Bài tập 5. (P): (y 2)
2
= 12(x 3).
13
F
(d)
O
y
x
(P)
S
2
2
1
O
y
x
(d): x+y=0
F
H
M
1
1
Bài tập 6. (P): (x + 1)
2
= 8(y 2).
Bài tập 7. Phơng trình đờng thẳng (d) đi qua F có dạng:
(d): 2mx 2y mặt phẳng = 0.
Toạ độ giao điểm A(x
A
, y
A
) và B(x
B
, y
B
) của (P) và (d) là
nghiệm của hệ:



=
=
0mpy2mx2
px2y
2

Phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
4m
2
x
2
4p(m
2
+ 2)x + m
2
p
2
= 0 (1)
Từ đó, ta có :







=
+
=+
4
p
x.x
m
)2m(p
xx
2
BA
2
2
BA
.
Phơng trình tung độ giao điểm của (P) và (d) có dạng:
my
2
2py mp
2
= 0 (2)
Từ đó, ta có





=
=+
2
BA
BA
py.y
m
p
yy
.
Phơng trình đờng tròn (C) đờng kính AB:
M(x, y)(C)

MA
.

MB
= 0
x
2
+ y
2
(x
A
+ x
B
)x (y
A
+ y
B
)y + x
A
x
B
+ y
A
y
B
= 0.
Gọi I(x
I
, y
I
) là tâm của đờng tròn (C), ta có:
I:







+
=
+
=
2
yy
y
2
xx
x
BA
BA
I:







=
+
=
m
p
y
m2
)2m(p
x
2
2
.
Gọi R là bán kính của đờng tròn (C), ta có:
14
O
y
x
(P)
A
B
F
J
I
B
1
A
1