đa thức duy nhât và bi-urs kieu (1,n) cho hàm phân hình trên trường không acsimet

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "đa thức duy nhât và bi-urs kieu (1,n) cho hàm phân hình trên trường không acsimet": http://123doc.vn/document/1048134-da-thuc-duy-nhat-va-bi-urs-kieu-1-n-cho-ham-phan-hinh-tren-truong-khong-acsimet.htm

5
Nguyễn Trọng Hòa ([3], [10]) đã chỉ ra sự tồn tại bi-URS cho M(K) kiểu
(2,n), với mọi n ≥ 3 và khẳng đònh n =3là số bé nhất có thể. Các kết
quả của Tạ Thò Hoài An và Nguyễn Trọng Hòa đạt được là những đóng
góp mới không chỉ ở nội dung mà ở cả phương pháp tiếp cận khi nghiên
cứu các vấn đề tương tự. Bởi vậy chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên
cứu về đa thức duy nhất và song tập xác đònh duy nhất kiểu (1,n) cho hàm
phân hình trên trường không Acsimet. Cụ thể, chúng tôi muốn hệ thống lại
một cách chi tiết các chứng minh của những kết quả mà các tác giả đã chỉ
ra. Qua đó, chúng tôi sẽ cố gắng xây dựng các ví dụ cụ thể để minh họa các
kết quả trong một số trường hợp đặc biệt. Đề tài của chúng tôi mang tên:
"Đa thức duy nhất và bi-URS kiểu (1,n)
cho hàm phân hình trên trường không Acsimet".
Phương pháp của chúng tôi là sử dụng ước lượng các hàm Nevanlinna
để đánh giá tập không điểm của một lớp các đa thức thỏa mãn một số điều
kiện nào đó.
Nội dung của luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận, các tài liệu
tham khảo và ba chương.
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích p-adic và lý
thuyết Nevanlinna p-adic. Đây là các kiến thức cơ sở cho các chương sau.
Chương 2 trình bày các kết quả về đa thức duy nhất cho các hàm
phân hình trên trường không Acsimet.
Chương 3 trình bày các kết quả về song tập xác đònh duy nhất kiểu
(1,n) cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet.
Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Trọng
Hòa, ngưới đã đặt vấn đề và dẫn dắt tác giả hoàn thành công việc của mình.
Tác giả xin gửi tới TS. Nguyễn Trọng Hòa lời cảm ơn chân thành. Tác giả
cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS. TS. Mỵ Vinh Quang người thầy
đầu tiên đã hướng dẫn tác giả trong công việc nghiên cứu các vấn đề về
lý thuyết Nevanlinna p-adic và các áp dụng. Tác giả cũng xin chân thành
biết ơn ban chủ nhiệm khoa Toán-Tin, Đại học Sư phạm thành phố Hồ
Chí Minh, đặc biệt là TS. Nguyễn Thái Sơn đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả
hoàn thành công việc của mình. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới PGS.
6
TS. Bùi Tường Trí, TS. Trần Huyên, PGS. TS. Đậu Thế Cấp và PGS. TS.
Lê Hoàn Hóa đã giảng dạy cho tác giả các chuyên đề cao học. Tác giả cũng
xin gửi lời cảm ơn tới tập thể cán bộ Phòng Khoa học công nghệ và Sau
đại học, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi giúp tác giả hoàn thành công việc học tập và nghiên cứu của mình.
Cuối cùng, tác giả xin tỏ lòng biết ơn đến Mẹ, người mà đã chấp nhận
khó khăn và dành hết tình thương yêu, động viện tác giả hoàn thành công
việc học tập của mình.
7
Chương 1
Các kiến thức cơ sở
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ sở về hàm
phân hình và lý thuyết Nevanlinna trên trường không Acsimet. Trước hết,
chúng tôi đưa ra các ký hiệu dùng trong luận văn.
• K là trường đóng đại số, đặc số 0 và đầy đủ với chuẩn không Acsimet.
• C là trường các số phức.
• C
p
là trường các số phức p-adic.
• L là C hoặc K.
•A(L) là vành các hàm nguyên trên L.
•M(L) là trường các hàm phân hình trên L.
• W là trường đóng đại số, đặc số 0.
•

W là không gian xạ ảnh một chiều trên W.
•Flà một họ các hàm xác đònh trên W và lấy giá trò trên

W.
8
1.1 Trường không Acsimet
Các khái niệm và kết quả được nhắc đến trong phần này được trình
bày một cách chi tiết trong [8].
Chuẩn không Acsimet
Đònh nghóa 1.1. Một chuẩn trên trường W là ánh xạ
|.| : W → R
+
=[0, ∞),
thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) |x| =0⇔ x =0,
(2) |xy| = |x||y|; ∀x, y ∈ W,
(3) |x + y|≤|x| + |y|; ∀x, y ∈ W.
Nếu thay (3) bởi điều kiện mạnh hơn: (3

) |x + y|≤max{|x|, |y|} thì ta thu
được chuẩn không Acsimet.
Mỗi chuẩn | .| trên trường W cảm sinh một hàm khoảng cách d xác
đònh bởi d(x, y)=|x − y| với mọi x, y ∈ W, và do đó chuẩn này cảm sinh
một tôpô trên W. Trường với chuẩn không Acsimet được gọi là trường không
Acsimet, ký hiệu K. Hai chuẩn trên một trường W gọi là tương đương nếu
nó cùng cảm sinh một tôpô trên W.
Cho r là số thực dương và điểm x ∈ W. Ký hiệu đóa mở, đóa đóng tâm
x bán kính r theo thứ tự bởi:
D(x, r)={y ∈ W|d(x, y) <r},
D(x, r)={y ∈ W|d(x, y) ≤ r}.
Đóa D = D(0, 1) được gọi là đóa đơn vò.
Với hằng số c>1, hàm v
c
: W → R ∪ {∞},
v
c
(x)=

− log
c
|x| nếu x =0,
+∞ nếu x =0.
được gọi là hàm cộng tương ứng của chuẩn |.|.
9
Mệnh đề 1.1. Một chuẩn trên trường W là không Acsimet nếu và chỉ nếu hàm
cộng v tương ứng của nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) v(x)=+∞⇔x =0,
(2) v(xy)=v(x)v(y); ∀x, y ∈ W,
(3) v(x + y) ≥ min{v(x),v(y)}; ∀x, y ∈ W.
Không gian p-adic (Xem [8], [2])
Một ví dụ của chuẩn không Acsimet là chuẩn p-adic, được xác đònh
như sau:
Cho p là số nguyên tố. Với mỗi số nguyên a =0, ta có thể viết a = p
v
a

,
p không chia hết a

. Số tự nhiên v được xác đònh duy nhất bởi a và p, cho
nên ta nhận được hàm
v
p
: Z
∗
→ Z
+
,v
p
(a)=v.
Có thể mở rộng hàm v
p
lên trường các số hữu tỷ: với mọi x = a/b ∈ Q, đặt
v
p
(x)=

v
p
(a) − v
p
(b) nếu x =0,
+∞ nếu x =0.
Khi đó, chúng ta có chuẩn p-adic tương ứng, ký hiệu |.|
p
trên Q, xác đònh
bởi:
|x|
p
=

p
−v
p
(x)
nếu x =0,
0 nếu x =0.
Đònh lý 1.1 (Ostrowski [8]). Mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều tương
đương với chuẩn p-adic hoặc chuẩn giá trò tuyệt đối thông thường.
Như vậy chỉ có hai hướng mở rộng trường các số hữu tỷ Q. Mở rộng
theo chuẩn giá trò tuyệt đối thông thường ta được trường các số thực R. Mở
rộng theo chuẩn p-adic ta được trường các số p-adic, ký hiệu là Q
p
.
Gọi
Q
p
là bao đóng đại số của Q
p
. Tuy đóng đại số nhưng Q
p
không
đầy đủ theo tôpô không Acsimet. Ký hiệu C
p
=

Q
p
là trường mở rộng
đầy đủ của
Q
p
theo tôpô không Acsimet, và được gọi là trường các số phức
p-adic.
Mệnh đề 1.2. C
p
là trường đóng đại số và đầy đủ theo chuẩn không Acsimet.
C
p
là không gian khả ly nhưng không compact đòa phương.
10
1.2 Hàm phân hình p-adic
Đònh nghóa 1.2. Một chuỗi lũy thừa
f(z)=
∞

n=0
a
n
z
n
; a
n
∈ K,
hội tụ trên đóa D(0,ρ) được gọi là hàm chỉnh hình p-adic trên đóa ấy. Hàm
chỉnh hình p-adic trên toàn K được gọi là hàm nguyên p-adic.
Giả sử f và g là các hàm chỉnh hình p-adic không có không điểm
chung trên một đóa. Khi đó hàm
ϕ =
f
g
,
được gọi là hàm phân hình p-adic trên đóa đó. Nếu f và g là các hàm nguyên
p-adic thì ϕ là hàm phân hình p-adic trên K, còn gọi là hàm phân hình p-adic.
Sau này, nếu không cần phân biệt, chúng ta gọi chung hàm phân hình
trên K và hàm phân hình trên C là hàm phân hình.
Cho f là hàm chỉnh hình p-adic khác hằng số trên đóa D(0,ρ). Với
mỗi 0 <r<ρ, ta đònh nghóa hạng tử tối đại:
µ(r, f) = max
n≥0
{|a
n
|r
n
},
tương ứng là chỉ số tâm:
ν(r, f ) = max
n≥0
{n : |a
n
|r
n
= µ(r, f )}.
Chúng ta quy ước
µ(0,f) = lim
r→0
+
µ(r, f); ν(0,f) = lim
r→0
+
ν(r, f ).
Bổ đề 1.1. Chỉ số tâm ν(r, f ) tăng lên khi r → ρ và thỏa mãn công thức
log µ(r, f) = log |a
ν(0,f )
| +

r
0
ν(t, f) − ν(0,f)
t
dt + ν(0,f) log r.
Bổ đề 1.2 (Đònh lý chuẩn bò Weierstrass). Cho f là hàm chỉnh hình trên đóa
D(0,ρ). Khi đó, có tồn tại một đa thức monic P có bậc là ν(r, f ) và một hàm
chỉnh hình p-adic g trên
D(0,r) sao cho f = gP. Hơn nữa, g không có không
điểm trong
D(0,r) và P có đúng ν(r, f) không điểm kể cả bội trên D(0,r).
11
Cho hàm phân hình f trên D(0,ρ), thì khi đó f =
g
h
, với g, h là hai
hàm chỉnh hình p-adic không có không điểm chung trên D(0,ρ). Ta đònh
nghóa
µ(r, f)=
µ(r, g)
µ(r, h)
.
Bổ đề 1.3. Giả sử f là hàm phân hình trên D(0,ρ), khi đó
µ(r, f

) ≤
1
r
µ(r, f).
Bổ đề 1.4. Với mỗi 0 <r<ρvà f,g là các hàm phân hình trên đóa D(0,ρ)
ta có:
(1) µ(r, f)=0⇔ f ≡ 0,
(2) µ(r, fg)=µ(r, f)µ(r, g),
(3) µ(r, f + g) ≤ max{µ(r, f),µ(r, g)}.
1.3 Lý thuyết Nevanlinna p-adic
Một trong những vấn đề quan trọng nhất của lý thuyết hàm giải tích
là nghiên cứu các không điểm và cực điểm. Công trình quan trọng đầu tiên
trong hướng này là kết quả của Hadamard nói rằng, nếu f(z) là hàm chỉnh
hình trong mặt phẳng phức thì ta có bất đẳng thức sau đây: `` Số các không
điểm của f(z) trong hình tròn D
r
≤ log max
|z|≤r
|f(z)| + O(1)''. Bất đẳng thức
trên cho ta một mối liên hệ giữa cấp tăng của hàm chỉnh hình với số không
điểm của nó. Có thể thấy rõ ý nghóa của đònh lý Hadamard khi xem nó
như là một sự tương tự siêu việt của đònh lý cơ bản của đại số nói rằng, số
nghiệm của một đa thức trên trường đóng đại số đúng bằng số bậc của đa
thức. Tuy nhiên đònh lý Hadamard có hai thiếu sót:
1. Thứ nhất, tồn tại các hàm giải tích, chẳng hạn f(z)=e
z
có cấp tăng
rất lớn, nhưng không có không điểm nào cả. Khi đó, đònh lý Hadamard
không cho một ước lượng dưới của cấp tăng.
2. Thứ hai, khi f(z) là hàm phân hình, vế phải của bất đẳng thức
Hadamard có thể trở thành vô hạn, và như vậy ta không thu được
cận trên của số các không điểm của hàm f(z).
12
Lý thuyết Nevanlinna ra đời nhằm khắc phục những thiếu sót này. Sau đây
là các khái niệm và kết quả chính của lý thuyết này.
Cho f là hàm chỉnh hình trên D(0,ρ). Với mỗi t ≥ 0, ta đặt n(t,
1
f
)
là số các không điểm kể cả bội của f trong D(0,t). Với mỗi 0 <r<ρ,ta
đònh nghóa hàm đếm các không điểm của f bởi công thức
N

r,
1
f

=

r
0
n(t,
1
f
) − n(0,
1
f
)
t
dt + n

0,
1
f

log r.
Từ bổ đề 1.2 cho ta
n

r,
1
f

= ν(r, f ).
Do đó, kết hợp với bổ đề 1.1 ta thu được công thức Poision-Jensen cho các
hàm chỉnh hình:
N

r,
1
f

= log µ(r, f) − log |a
n(0,
1
f
)
|. (1.1)
Tương tự, chúng ta cũng đặt ¯n(t,
1
f
) là số các không điểm phân biệt của f
trong D(0,t) và đònh nghóa
N

r,
1
f

=

r
0
¯n

t,
1
f

− ¯n

0,
1
f

t
dt +¯n

0,
1
f

log r.
Cho f là hàm phân hình trên D(0,ρ), khi đó f =
g
h
, với g,h là hai hàm
chỉnh hình không có không điểm chung trên D(0,ρ). Ta đònh nghóa n(t, f)
và hàm đếm các cực điểm N(r, f ) của f như sau:
n(t, f)=n

t,
1
h

; N(r, f )=N

r,
1
h

.
Áp dụng công thức (1.1) cho các hàm g và h, chúng ta nhận được công thức
Poision-Jensen cho các hàm phân hình:
N

r,
1
f

− N(r, f) = log µ(r, f ) − C
f
, (1.2)
trong đó C
f
là hằng số chỉ phụ thuộc vào f.
Mệnh đề 1.3. Với mọi hàm phân hình f ta có
N(r, f)=

r
0
n(t, f) − n(0,f)
t
dt + n(0,f) log r.
13
Đònh nghóa 1.3 (Hàm xấp xỉ). Cho f là hàm phân hình trên D(0,ρ).Ta
gọi hàm m(r, f) = log
+
µ(r, f) = max{0, log µ(r, f )} là hàm xấp xỉ của f.
Nhận xét. Hàm xấp xỉ m(r, f ) đo độ lớn của tập hợp mà tại đó hàm f nhận
giá trò gần với ∞ trong hình tròn bán kính r.
Đònh nghóa 1.4 (Hàm đặc trưng). Cho f là hàm phân hình trên D(0,ρ).
Ta gọi hàm T (r, f)=m(r, f )+N(r, f) là hàm đặc trưng của f.
Mệnh đề 1.4. Hàm đặc trưng T (r, f ) là hàm tăng theo biến r và hơn nữa nếu
f là hàm phân hình trên K thì ta có lim
r→∞
T (r, f)=∞.
Đònh lý 1.2 (Đònh lý cơ bản thứ nhất). Giả sử r là một số thực dương, f là
hàm phân hình trên K và a ∈ K bất kỳ. Khi đó
T

r,
1
f − a

= T (r, f)+O(1).
Đònh lý 1.3 (Đònh lý cơ bản thứ hai). Giả sử r là một số thực dương, f là
hàm phân hình khác hằng số trong K và a
1
,a
2
, ,a
q
∈ K(q ≥ 1) là các số
phân biệt. Khi đó
(q − 1)T (r, f) ≤ N(r, f )+
q

i=1
N

r,
1
f − a
i

− N
Ram
(r, f) − log r + O(1)
≤
¯
N(r, f)+
q

i=1
¯
N

r,
1
f − a
i

− N
0

r,
1
f


− log r + O(1),
trong đó N
Ram
(r, f)=N(r, 1/f

)+2N(r, f ) − N(r, f

) là hạng tử rẽ nhánh
và N
0
(r, 1/f

) là hàm đếm các không điểm của f

khi f không nhận các giá
trò a
1
,a
2
, ,a
q
.
Đònh nghóa 1.5. Cho f là hàm phân hình trên K và a ∈ K ∪ {∞}. Ta đặt
δ
f
(a) = lim
r→∞
inf
m

r,
1
f−a

T (r, f)
=1− lim
r→∞
sup
N

r,
1
f−a

T (r, f)
,
Θ
f
(a)=1− lim
r→∞
sup
¯
N

r,
1
f−a

T (r, f)
,θ
f
= lim
r→∞
inf
N
Ram
(r, f)
T (r, f)
.
Đònh lý 1.4 (Quan hệ số khuyết). Giả sử f là hàm phân hình trên K. Khi
đó, tập hợp các phần tử a ∈ K ∪ {∞} sao cho Θ(a) =0là đếm được và hơn
nữa,

a∈K∪{∞}
δ
f
(a) ≤

a∈K∪{∞}
Θ
f
(a) ≤

a∈K∪{∞}
δ
f
(a)+θ
f
≤ 2.
14
Bổ đề 1.5. Giả sử q ∈ N
∗
,a∈ K và f ∈M(K) sao cho mọi không điểm của
f − a đều có bội lớn hơn hoặc bằng q. Khi đó Θ
f
(a) ≥ 1 −
1
q
.
Chứng minh. Từ giả thiết của bổ đề, ta có ¯n

r,
1
f − a

≤
1
q
n

r,
1
f − a

.
Suy ra
¯
N

r,
1
f−a

T (r, f)
≤
1
q
N

r,
1
f−a

T (r, f)
. Do đó lim
r→∞
sup
¯
N

r,
1
f−a

T (r, f)
≤
1
q
.
Vì vậy Θ
f
(a) ≥ 1 −
1
q
.
Đònh lý 1.5. Với mọi >0 bất kỳ, luôn tồn tại f ∈M(K) sao cho

a∈K∪{∞}
Θ
f
(a) ≥ 2 − .
Chứng minh. Với mọi p, q ∈ N
∗
ta đặt g = u
p
,h = v
q
, trong đó u, v là các
hàm nguyên không có không điểm chung. Lấy f =
g
h
∈M(K). Theo công
thức (1.2) và bổ đề 1.4 ta có T (r, f ) = max{T (r, g),T(r, h)} + O(1).
Áp dụng bổ đề 1.5 ta thu được
Θ
f
(0) = 1 − lim
r→∞
sup
¯
N

r,
1
f

T (r, f)
=1− lim
r→∞
sup
¯
N

r,
1
g

T (r, f)
≥ 1 − lim
r→∞
sup
¯
N

r,
1
g

T (r, g)
=Θ
g
(0) ≥ 1 −
1
p
,
Θ
f
(∞)=1− lim
r→∞
sup
¯
N(r, f)
T (r, f)
=1− lim
r→∞
sup
¯
N

r,
1
h

T (r, f)
≥ 1 − lim
r→∞
sup
¯
N

r,
1
h

T (r, h)
=Θ
h
(0) ≥ 1 −
1
q
.
Do đó

a∈K∪{∞}
Θ
f
(a) ≥ Θ
f
(0) + Θ
f
(∞) ≥ 2 −
1
p
−
1
q
.
Chọn p, q đủ lớn sao cho
1
p
+
1
q
≤ , khi đó ta sẽ có hàm phân hình f thỏa
mãn

a∈K∪{∞}
Θ
f
(a) ≥ 2 − .