Một số bài tập về hàm số và đồ thị hàm số

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "Một số bài tập về hàm số và đồ thị hàm số": http://123doc.vn/document/574218-mot-so-bai-tap-ve-ham-so-va-do-thi-ham-so.htm

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
y =
2
2
6
2
x x
x x
+ +
+ +
nhận giá trị nguyên y = 1 +
2
4
2x x+ +
Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y

Z

x
2
+ x + 2 nhận giá trị là -
ớc nguyên của 4.
Sai lầm trong lời giải ở chỗ x

R nên x
2
+ x + 2 có thể nhận giá trị không
nguyên. Vì vậy lời giải trên làm mất nghiệm của bài toán.
+ Cách giải từ việc có miền giá trị
23
1
7
y<
ta chỉ ra y

Z

y = 2 hoặc y
= 3
Giải phơng trình
2
2
6
2
x x
x x
+ +
+ +
= 2

x
2
+ x - 2 = 0

x = 1; x = -2

2
2
6
2
x x
x x
+ +
+ +
= 3

2x
2
+ 2x = 0

x = 0; x = -1
Vậy x
{ }
2; 1;0;1
thì y

Z
ứ ng dụng 2: Gải phơng trình f(x) = g(x) (1)
Nhiều phơng trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ vào
miền giá trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xácc định D chung của
chúng:
Nếu
( )
( )
f x m
g x m





với

x

D thì f(x) = g(x)


( )
( )
f x m
g x m





(2)
Nếu

x
0


D thoả mãn (2) thì x
0
là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ 1: Giải phơng trình 6x x
2
2 =
1 2 2 3 4 13x x x x + + +
(1)
+ Tập xác định : R
+ ta có VT = 6x x
2
2 = 7 (x 3)
2


7 dấu = xảy ra khi và chỉ
khi x=3
VP =
1 2 2 3 4 13x x x x + + +


7 dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
13
2
4
x
+ Vậy phơng trình (1)
2
6 2 7
1 2 2 3 4 13 7
x x
x x x x

=



+ + + =




x = 3
Kết luận phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3
Ví dụ 2:
6
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Giải phơng trình 16x
4
+ 72x
3
81x
2
+ 28 = 16(x -
2x
) = 0 (3)
Ta có VT = 16x
4
+ 72x
3
81x
2
+ 28 16
2
2
7 9
28
4 4
x x




ữ



Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x =
9
4
Đặt
2x
= t

0 =>x = t
2
+ 2 ta có VP = 16(t
2
t + 2)
= 16
2
1 7
28
2 4
t


+

ữ



Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi t =
1 1 9
2
2 4 4
x x = + =

Vậy phơng trình (3)
28
9
28
4
VT
x
VP
=

=

=

Kết luận nghiệm của phơng trình là
9
4
x =
4/ Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất ( nếu có) của hàm số y = x
2
3x + 1 trên
đoạn:
a.
[ ]
3;1
b.
[ ]
0; 2
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2 2
2 2
3 8
a b a b
b a b a


+ +
ữ
ữ


Bài 3: Gọi x, y là nghiệm của hệ phơng trình
2 2 2
1
2 1
x y a
x y a
+ = +


+ = +

Tìm a để xy có gia trị lớn nhất.
Bài 4: Giải phơng trình
a.
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + =
b.
2
2 4 6 11x x x x + = +
Dạng III: Xác định công thức hàm số
7
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
1/ Khi biết tính chất đồ thị hàm số
Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tơng ứng 1-1 nên ta sẽ xác định đợc công
thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tơng ứng.
a. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d có
tính chất:
+ Đi qua điểm A(x
1
; y
1
) và điểm B(x
2
; y
2
)
Giải
Vì A(x
1
; y
1
)

d nên ax
1
+ b = y
1
B(x
2
; y
2
)

d nên ax
2
+ b = y
2

Ta có hệ phơng trình
1 1
2 2
ax b y
ax b y
+ =


+ =

Giải hệ phơng trình ta có a, b
Kết luận công thức hàm số.
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm A(1;
1) và điểm B(-1; 2)
Giải
Vì A(x
1
; y
1
)

d nên ax
1
+ b = y
1
, B(x
2
; y
2
)

d nên ax
2
+ b = y
2
Ta có hệ phơng trình:
1 1
2 2
ax b y
ax b y
+ =


+ =

gải hệ phơng trình đó ta có a, b
Kết luận công thức hàm số.
Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm A(1; 1)
và điểm B(-1; 2)
Giải
Vì A(1; 1)

d nên a1 + b = 1, B(-1; 2)

d nên a(-1) + b = 2
Ta có hệ phơng trình:
1
1
2
2 3
2
a
a b
a b
b

=

+ =




+ =


=


Kết luận hàm số cần tìm là y = -
1 3
2 2x
+
b. Đồ thị đi qua điểm A(x
1
; y
1
) và song song với đờng thẳng d có ph ơng
trình y = a
1
x + b
1
(a

0)
Giải
Vì A(x
1
; y
1
)

d nên ax
1
+ b = y
1
8
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Vì d song song với d nên a = a
1
=> b = y
1
ax
1
Kết luận hàm số cần tìm là y = a
1
x + y
1
ax
1
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1;
1
2
) và song song
với đờng thẳng d có phơng trình y = 2x -
1
2
Giải
Vì A(1;
1
2
)

d nên a + b =
1
2
Vì d song song với d nên a = 2 => b = -
3
2
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x -
3
2
c. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
1
; y
1
) và vuông góc với đờng thẳng d có
phơng trình y = a
1
x + b
1
(a

0)
Giải
Vì A(x
1
; y
1
)

d nên ax
1
+ b = y
1
Vì d vuông góc với d nên aa
1
= -1

a =
1
1
a



b = y
1
+
1
1
a
x
1
Kết luận hàm số cần tìm là y =
1 1
1 1
1 1
y x
a a

+ +
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1; 1) và vuông góc
với đờng thẳng d có phơng trình y = -
1
2
x +
3
2
Giải
Vì A(1; 1)

d nên a + b = 1
Vì d vuông góc với d nên aa
1
= -1

a = 2

b = -1
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x 1
d. Đồ thị qua điểm A(x
1
; y
1
) và tiếp xúc với
Parabol (P): y = a x
2
+ b x + c (a

0)
Giải
Vì A(1; 1)

d nên ax
1
+ b = y
1
(1)
Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = ax
2
+ bx+c nên phơng trình hoành độ
giao điểm : ax + b = ax
2
+ bx+c có nghiệm kép
ax
2
+ (b a)x = c b = 0 có nghiệm kép


= (b a)
2
4a(c b) = 0 (2)
Giải hệ hai phơng trình (1) và (2) để tìm a và b. Kết luận công thức hàm số.
Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm A(1;2)

d nên a + b = 2 (1)
9
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Vì d tiếp xúc với Para bol (P): y=x
2
+1 nên phơng trình hoành độ giao điểm
: ax+b=x
2
+1 có nghiệm kép
<=> x
2
-ax+1-b=0 có nghiệm kép
<=>

=(b-a)
2
4a(c-b)=0 (2)
Ta có hệ phơng trình:
2 2 2
2 2 2
0
2
4 4 4( 2) 4 ( 2) 0
a b b a b a
b
a
a b a a a
+ = = + = +
=




=
+ = + + = + =


Vậy hàm số cần tìm là y=-2x
III/1.2 Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P)
a. Đi qua 3 điểm phân biệt A(x
1
,y
1
), B(x
2
,y
2
), C(x
3
,y
3
)
Lời giải
Vì A(x
1
,y
1
)

(P) nên ax
1
2
+ bx
1
+ c = y
1
(1)
Vì B(x
2
,y
2
)

(P) nên ax
2
2
+ bx
2
+ c = y
2
(2)
Vì C(x
3
,y
3
)

(P) nên ax
3
2
+ bx
3
+ c = y
2
(3)
Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c
Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi qua
3 điểm phận biệt A(-1;6), B(0;3), C(3;6).
Lời giải
Vì A(-1;6)

(P) nên a-b+c=6 (1)
Vì B(0;3)

(P) nên c = 3 (2)
Vì C(3;6)

(P) nên 9a+3b+c = 6 (3)
Ta có hệ phơng trình
3 3 3
6 3 1
9 3 6 9 3 3 2
c c c
a b c a b a
a b c a b b
= = =


+ = = =


+ + = + = =

Vậy công thức hàm số cần tìm là: y = x
2
2x + 3
b. (P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) và đi qua điểm A(x
1
, y
1
)
Lời giải
Vì A(x
1
, y
1
)

(P) nên ax
1
2
+ bx
1
+ c = y
1
(1)
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) nên
0
2
b
x
a

=
(2);
2
0
4
2
4 4
b ac
y
a a

= =
(3)
Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c
Kết luận công thức hàm số.
Ví dụ: xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi qua
điểm A(-1;2) và có đỉnh là D(1; 2).
Lời giải:
Vì A(1; 2)

(P) nên a+ b+ c = 2 (1)
10
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên
1
2
b
a

=
(2);
2
4
2 2
4 4
b ac
a a

= =
(3)
Ta có hệ phơng trình
2
2
2
2 1
1 2 0 2
2
1
4 8 0
4
2
4
a b c
a b c a
b
a b b
a
c
b ac a
b ac
a


+ =

+ = =




= + = =


=
=




=


Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x
2
2x 1
c. (P) có toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
)
và tiếp xúc với đờng thẳng d: y = a x+b
Lời giải:
Vì (P) có toạ độ dỉnh D(x
0,
y
0
) nên phơng trình hoành độ :
ax
2
+ bx + c = ax+b có nghiệm kép

ax
2
+(b-a)x +c-b = 0 có nghiệm kép


= (b-a)-4a(c-b) = 0 (3)
Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c.
Ví dụ1: xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P) nhận
D(1;1) là đỉnh và tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x 2.
Lời giải :
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên
1
2
b
a

=
;
2
4
1 1
4 4
b ac
a a

== =
(2)
Vì (P) tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x 2 nên phơng trình hoành độ
ax
2
+ bx+c = 2x-2 có nghiệm kép.

ax
2
+ (b-2)x+c+2 = 0 có nghiệm kép.


= (b-2)2 4ac(c+2) = 0 (3)
Ta có hệ phơng trình
2
2
2 2
2
( 2) 4 ( 2) 0
4 8 4 4 0 2 0 1
1 2 0 12 4 0 2
2
2
4 4 0 4 4 0
4
1
4
b ac c
b ac a b a b a
b
a b a b b
a
c
b ac a b ac a
b ac
a


+ =


+ = + = =





= + = + = =


=
+ = + =





=


Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x
2
2x + 2.
11
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
III.2 Xác định công thức hàm số khi biết phơng trình hàm:
Ví dụ1: Tìm f(x) của hàm số biết f(1+
1
2
) = x
2
1 và f(0) = 0
Giải:
+ Với x

0 ta đặt
1
1 t
x
+ =
rồi rút x theo t ta có
1
1
x
t
=

Thay vào công thức ban đầu ta có f(t) = (
1
1t
)
2
1
2
(2 )
( )
( 1)
t t
f t
t

=

Vì tơng ứnghàm số không phụ thuộc vào ký hiệu nên coi f(x) =
2
(2 )
( 1)
x x
x


+ Với x = 0 thay vào công thức vừa tìm đợc ta có f(0) = 0
Vậy hàm số cần tìm là f(x) =
2
(2 )
( 1)
x x
x


Ví dụ 2: Tìm biểu thức f(x) của hàm số biết
2
1
( ) 2 ( )f X f x
x
+ =
với x

0
Từ công thức thay x bởi
1
x

ta có
2 2
1 1 1 1 1
2 2 ( )
1
f f f f x
x x x x
x

ữ

+ = + =
ữ
ữ ữ ữ ữ

ữ

+ Ta có hệ điều kiện với f(x) nh sau:
2
2
4
2
2
2
1
1
( ) 2 ( )
( ) 2
2
( )
3
1 1
1 2
( ) 2 ( )
4 ( ) 2
f x f x
f x f x
x
x
x
f x
x
f f x
f x f
x x
x x



+ =
+ =
ữ




=




+ =
+ =
ữ
ữ





Vậy công thức hàm số là
4
2
2
( )
3
x
f x
x

=
Bài tập:
Bài1: xác định biểu thức f(x) biết:
a/
2
2
1 ( 1)
x x
f
x x

=
ữ


và f(1) = 0
12
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
b/
2
4 8
1 3 4 1
x x
f
x x x


=
ữ
+

với x

1 và f(1) = 0
c/
2
2
10 4 5
2 4 ( 4)
x x x
f
x x x


=
ữ
+

và f(2) = -1
Bài2: Xác định biểu thức f(x) và g(x) biết
a/
(2 1) 2 (2 1) 2
2 1
f x g x x
x x
f g x
x x
+ + + =




+ =
ữ ữ




b/
2 2
(3 1) (6 1) 3
( 1) (2 3) 2
f x g x x
f x x g x x x
+ =


+ + + = +

Dạng IV: Đồ Thị Hàm số
1/ Nhắc lại về đồ thị hàm số:
a/ Định nghĩa: Đồ thị Hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng
toạ độ có toạ độ (x; f(x)) với x

TXĐ
b/ Đồ Thị Hàm số bậc nhất y = ax + b (a

0) là một đờng thẳng.
Cách vẽ:
- Lấy 2 điểm có toạ độ thoả mãn công thức hàm số.
Chẳng hạn A(0, b) và B(-
b
a
; 0)
- Vẽ đờng thẳng đi qua A và B
c/ Đồ thị hàm số bậc hai: y = ax
2
+ bx + c (a

0) là Parabol (P) có:
+ Đỉnh D
;
2 4
b
a a



ữ

+ Trục đối xứng: x =-
2
b
a
+ bề lõm quay lên trên khi a>0 ; bề lõm quay xuống dới khi a<0
d/ Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối: y
x với x

0
Chẳng hạn: y =
x =
13
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
-x với x

0
Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác
của các góc vuông I và II (hình 1d) 0 x
hình 1d
e/ Đồ thị hàm phần nguyên: y =
[ ]
x
trong đó
[ ]
x
là kí hiệu số nguyên lớn
nhất không vợt quá x
+ Đồ thị hàm số y =
[ ]
x
với
1 3x <
có dạng bậc thang nh (hình 1e)
-1 với
1 0x
<
y = 0 với
0 1x <
3
1 với
1 2x
<
2
2 với
2 3x <
1
-1
0 1 2 3
-1
f/ Nhận xét:
+ Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung.
+ Hàm số y = f(
x
) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận truc tung
làm trục đối xứng. Vì vậy khi vẽ chỉ cần:
Vẽ đồ thị y = f(x) với x

0
Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung.
+
y
= x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm
số mà chỉ vẽ đờng biểu diễn mối quan hệ.
2/ Ví dụ:
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x
2
4x+3
+ TXĐ : x

R
+ Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x>2
Nghịch biến với x<2
Có giá trị nhỏ nhất là y = -1 khi x = 2
+ Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4
y 3 0 -1 0 3
14
y
x
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị

3
2

1 1 2 3 4
Nhận xét: Đồ Thị Hàm số là Parabol (P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua đ-
ờng thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên.
Ví dụ2 : Vẽ đồ thị hàm số: y = 2x -
x
+ Ta khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét các khoảng giá trị của biến
x với x

0
y = 2x-
x
=
3 x với x < 0
+ Bảng giá trị; x 0 1 -1
y 3 1 -3
Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y=
2
x 2 x 2 + +
Ta có y=
2
2
x 2x 2với x 0
-x 2x 2với x<0

+ +


+


Nên đồ thị là hai nhánh Parabol
y=-x
2
+2x+2 với x
0
y=-x
2
-2x+2 với x<0
Đồ thị:
3
2
-2 -1
1
1 2 3
0
-1
15
-3
x
y
y
x
0