Với T, ta xác định: X
: E
X
() = X
(
)
()
= {B : B [=n]
n
} là - đại số trên
là - đại số con của
X
là biến ngẫu nhiên X
là
- đo đợc.
Chứng minh:
+ F
là - đại số:
Với mỗi T:
= {B : B [ = n]
n
}
a. [ = n] = [ = n]
n
(vì là - đại số)
[ = n] =
n
b. A
A
c
= \A
Xét A
c
[ = n] = (\A) [ = n] = ( [ = n]) \ (A [ = n])
n
A
c
c. {A
i
}
i
I
mà A
i
, A
i
A
j
= , với mọi i j
[ ]
i
i
i
i
nn
===
])[(
n
i
i
Vậy
là - đại số trên .
+ X
là biến ngẫu nhiên:
Với a R
1
, ta phải chứng minh: [ X
< a]
n
.
Ta có: [X
< a] [ = n] = [X
n
< a] [ = n]
n
5
X
n
là biến ngẫu nhiên [X
n
< a]
n
là thời điểm dừng nên [ = n]
n
[X
< a]
n
X
là biến ngẫu nhiên.
Định nghĩa I.1.3: Dãy dự báo.
Dãy ngẫu nhiên (X
n
,
n
)
n
N
đợc gọi là dãy dự báo nếu với mỗi n N thì các
biến ngẫu nhiên X
n
là
n
-1
- đo đợc, ở đó
0
=
1
.
Định nghĩa I.1.4: Martingale (Sub Martingale).
Dãy ngẫu nhiên (X
n
,
n
)
n
N
gọi là Martingale (Sub Mart) nếu với mọi n 1
các điều kiện sau thoả mãn:
(i) E(|X
n
|) < +
(ii) E(|X
n+1
|
n
) = X
n
(E(X
n+1
/
n
) X
n
) (a.s)
Định nghĩa I.1.5: Khả tích đều.
Dãy ngẫu nhiên (X
n
)
n
N
tơng thích với họ {
n
}
n
N
đợc gọi là khả tích đều nếu:
{ }
0
>
c
cX
n
dPXSup
n
hay:
[ ]
( )
0.
>
c
cX
n
n
IXSupE
Định nghĩa I.1.6: T - Khả tích đều.
Dãy ngẫu nhiên (X
n
)
n
N
tơng thích với họ {
n
}
n
N
đợc gọi là T - khả tích đều
nếu: {EX
}
T
là khả tích đều.
6
Nghĩa là: với mọi > 0,
0
sao cho: sup E(|X
|.I
[
|
Xn
|
>
]
) < với mọi >
0
.
Định nghĩa I.1.7: Hội tụ theo xác suất.
XX
P
n
nếu
> 0: lim P[|X
n
-X| ] = 1
n n
Định nghĩa I.1.8: Hội tụ hầu chắc chắn.
XX
sa
n
.
nếu P[ : lim X
n
()=X()] = 1
n n
Định nghĩa I.1.9: Hội tụ theo luật.
XX
D
n
nếu P
Xn
P
X
n
Định nghĩa I.1.10: Hội tụ căn bản theo luật.
XX
ED
n
nếu với mọi tập X - liên tục A ta có:
n
P(lim sup [X
n
A]) = P(lim inf [X
n
A]) = P(X A)
n n
(tập A đợc gọi là X - liên tục nếu P[X A] = 0. A là biên của tập A, A )
Mêtric Levy Prokhorop xác định trên tập P
E
gồm tất cả các độ đo xác
suất trên (E, ) nh sau:
L(P
X
, P
Y
) = inf { : P
X
(A) < P
Y
(A
) + ; P
Y
(A) < P
X
(A) + , A }
Trong đó: P
X
là phân phối xác suất của phần tử ngẫu nhiên X
P
X
(B) = P[X B], B
A
= {x E; (x,A) < }
Ngời ta có thể viết: L(X,Y) = L(P
X
, P
Y
)
7
Định nghĩa I.1.11: Hội tụ ngẫu nhiên theo luật.
XX
D
nếu
> 0,
0
T, T, >
0
: L(X
, X) < (a.s)
Định nghĩa I.1.12: Hội tụ vô hớng.
Dãy
{ }
=
1n
n
X
đợc gọi là hội tụ vô hớng (a.s) đến X nếu mọi toán tử tuyến tính
liên tục f, f E
*
thì : f(X
n
) f(X).
Trong đó : E
*
là không gian Banach đối ngẫu của E.
II. Một số kết quả
Bổ đề I.2.1.
Nếu dãy các phần tử ngẫu nhiên {X
n
}
n
N
hội tụ theo xác suất tới phần tử ngẫu
nhiên X thì tồn tại một dãy con (n
k
) sao cho dãy
{ }
=
1k
n
k
X
hội tụ a.s tới X khi k
Bổ đề I.2.2.
Dãy các phần tử ngẫu nhiên
{ }
=
1n
n
X
hội tụ a.s tới phần tử ngẫu nhiên X nếu với
mọi dãy {
n
} T,
n
(a.s) ta có: {X
n
}
=
1n
hội tụ a.s tới X khi n
Bổ đề I.2.3.
Giả sử {X
n
}
n
N
là một Amart L
1
- bị chặn
Khi đó:
(i)
<
Xsup
(ii)
XX
n
Nn
>
supsup.
8
(iii)
<
n
Nn
Xsup
(a.s)
Bổ đề I.2.4.
Giả sử {X
n
}
=
1n
là dãy các phần tử ngẫu nhiên, X là phần tử ngẫu nhiên.
Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
(i)
nXX
ED
n
,
(ii)
TXX
D
,
(ii)
nXX
sa
n
,'
.
Trong đó: X là phần tử ngẫu nhiên nào đó, sao cho P
X
= P
X
Bổ đề I.2.5.
Giả sử {X
n
}
=
1n
là dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian
Banach E.
Khi đó:
XXnXX
vohuong
n
sa
n
,
.
(a.s), n
Và tập {X
n
()} là compact tơng đối (a.s)
Bổ đề I.2.6.
Giả sử {X
n
}
n
N
là dãy các phần tử ngẫu nhiên và X là phần tử ngẫu nhiên.
Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
(i)
1]),(sup[lim
=<
>
XXP
m
nm
n
(ii) Với mọi dãy (
n
),
n
T,
n
n, n N, ta có:
1]),(sup[
=<
XXP
n
n
Bổ đề I.2.7.
Giả sử {X
n
,
n
}
n
N
và {Y
n
,
n
}
n
N
là Amart L
1
- bị chặn.
9
Khi đó: {X
n
Y
n
,
n
}
n
N
và {X
n
Y
n
,
n
}
n
N
cũng là Amart L
1
- bị chặn.
Chơng II. Amart
Martingale tiệm cận (Amart) đợc mở rộng trực tiếp từ khái niệm martingale:
Dãy ngẫu nhiên {X
n
,
n
}
n
N
gọi là Amart nếu lới (EX
)
T
hội tụ.
I. Sự hội tụ của Amart:
Bổ đề II.1.1.
Giả sử Y là biến ngẫu nhiên
- đo đợc sao cho với mọi : Y() là điểm
dính của dãy {X
n
()}
n
N
.
Khi đó tồn tại dãy thời điểm dừng (
n
)
n
N
,
n
T
N
, với
n+1
n
và
n
n sao
cho:
nYX
sa
n
,
.
Chứng minh:
Lấy n
0
và > 0, tồn tại n n
0
và biến ngẫu nhiên Y sao cho Y là
n
-
đođợc và:
3
1
3
'
>
YYP
Vì Y() là điểm dính của dãy {X
n
()}
n
N
nên:
( ) ( ) ( ) ( )
',
3
2':
3
': nnYXYY
n
và tồn tại n n sao cho
( )
3
21
>
AP
Trong đó:
( ) ( )
=
''',
3
2': nnnYXA
n
Ta xác định thời điểm dừng :
10
=
3
2
)(')(''':min
YXvannnn
n
nếu A
n nếu A
Do Y là
- đo đợc và
=
(
Nn
n
)
Y là
n
- đo đợc với mọi n N [ = n]
n
, với mọi n N
T
N
( )
=+
>+
>>
33
2
3
'
3
2
' YYYXYX
,YX
P
Theo bổ đề I.2.1. tồn tại dãy (
n
) T
N
sao cho
nYX
sa
n
,
.
bổ đề đợc chứng minh.
Định lý II.1.2.
{X
n
,
n
}
n
N
là dãy ngẫu nhiên và
<
n
Nn
XE sup
Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
(i) X
n
hội tụ a.s với n
(ii) (X
n
)
n
N
là Amart.
Chứng minh:
(i) (ii)
Giả sử
nYX
sa
n
,
.
Chọn (
n
)
n
N
là dãy thời điểm dừng bị chặn tăng tới vô hạn khi n
Khi đó:
nYX
sa
n
,
.
và
n
N
XX
n
sup
<
n
XEXE
n
sup
( )
Nn
nn
EXnEXEX
,
là hội tụ
Vì dãy {
n
} chọn bất kỳ (EX
) hội tụ (X
n
)
n
N
là Amart
11
(ii) (i):
Đặt
n
n
n
n
XXXX inflim,suplim
*
*
==
X
*
và X
*
là điểm dính.
Theo bổ đề II.1.1. tồn tại 2 dãy thời điểm dừng bị chặn {}
n
N
và {
n
}
n
N
sao cho: X
n
X
*
và X
n
X
*
a.s, n
Mặt khác:
n
n
XXXXX
nnnn
sup2
+
Qua giới hạn dới dấu tích phân (vì
<
n
n
XE sup
):
( )
( )
0lim0
*
*
==
nn
XXEXXE
n
(do {X
n
} là Amart)
E (X
*
- X
*
) = 0 X
*
= X
*
(a.s)
Theo bổ đề Fatou:
nXX
sa
n
,
.
Định lí đợc chứng minh.
Định lí II.1.3.
Giả sử {X
n
,
n
}
n
N
là Amart và X
n
là L
1
- bị chặn, khi đó X
n
hội tụ (a.s) khi
n
Chứng minh:
Lấy > 0 và đặt Y
n
= - X
n
, n N.
Theo bổ đề I.2.7 {Y
n
,
n
}
n
N
là Amart bị chặn đều.
Theo định lý II.1.2. Y
n
hội tụ (a.s) khi n
Mặt khác:
{ }
>=
n
n
nn
XXY sup:
Theo bổ đề I.2.3: có thể chọn đủ lớn sao cho:
XXP
n
n
supsup
>
<
>
n
n
Xsup
[ ]
<
nn
YXP
X
n
hội tụ a.s khi n
12
Định lí đợc chứng minh.
Định lí II.1.4.
Giả sử {X
n
,
n
}
n
N
là T - khả tích đều.
Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:
(i) X
n
hội tụ a.s khi n
(ii) {X
n
,
n
}
n
N
là một Amart
Chứng minh:
(i) (ii).
Giả sử
nXX
sa
n
,
.
Chọn (
n
)
n
N
là dãy tăng các thời điểm dừng bị chặn
nXX
sa
n
,
.
{ }
=
1n
n
X
là khả tích đều.
nEXEX
sa
n
,
.
Vì
{ }
Nn
n
X
là khả tích đều và chọn (
n
) bất kỳ nên (EX
) hội tụ
{X
n
,
n
}
n
N
là một Amart.
(ii) (i):
Giả sử {X
n
,
n
}
n
N
là một Amart
{ } { }
{ }
n
aXaX
IIXIX
=
>>
{ } { }
aX
n
aX
n
IXEIEX
>>
>
.sup.sup
{X
n
}
n
N
là T khả tích đều. {X
n
}
n
N
là L
1
- bị chặn.
Theo định lý II.1.3.
nXX
sa
n
,
.
Định lí đợc chứng minh.
13
II. tính ổn định của amart.
Trong phần này vấn đề cơ bản cần phải giải quyết là:
Cho {X
n
,
n
}
n
N
là một Amart và một hàm : R R. Với điều kiện nào của
hàm thì {(X
n
),
n
}
n
N
là một Amart ?
Câu trả lời khẳng định cho những trờng hợp: (x) = |x|, x
+
, x
-
với điều kiện
{X
n
}
n
N
là L
1
- bị chặn đã đợc nêu trong bổ đề sau:
Bổ đề II.2.1.
Giả sử {X
n
}
n
N
là L
1
- bị chặn.
Nếu{X
n
,
n
}
n
N
là một Amart thì {
+
n
X
,
n
}
n
N
, {
n
X
,
n
}
n
N
, {
n
X
,
n
}
n
N
cũng là Amart.
Bây giờ chúng ta nghiên cứu các điều kiện đủ của hàm để kết luận trên vẫn
đúng.
Định lý II.2.2.
Giả sử {X
n
,
n
}
n
N
là một Amart và {X
n
}
n
N
là L
1
- bị chặn.
Hàm : R R sao cho:
(i) liên tục
(ii)
x
x
x
)(
lim
và
x
x
x
)(
lim
tồn tại hữu hạn
Khi đó {(X
n
),
n
}
n
N
là Amart L
1
- bị chặn
Chứng minh:
a. Trớc hết ta giả sử rằng X
n
0, (0) = 0,
x
x
x
)(
lim
= 0.
Giả sử {X
n
,
n
}
n
N
là một Amart và {X
n
}
n
N
là L
1
- bị chặn.
14
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét